Basit Modüller ile Eş-Üretieln Burulma Teorisinin Göreceli Homolojik Cebir Yöntemleri İle İncelenmesi
Abelian kategorileri için burulma teorileri, 1960’lı yıllarda, abelian grupları için gözlenen ortak bir davranışı, belirli alanlar üzerindeki modüller ve hatta genel olarak modüller için ortak bir davranışı birleştirme amacı ile tanıtıldı. Böylece, P. Gabriel'in J.-M. Maranda veya S.E. Dickson gibi birçok yazarın katkısı ile gelecek yıllar için yapılan burulma teorilerinin kapsamlı bir incelemesinin temeli atıldı.
Öz sınıflar (veya saflıklar), kategori teorisindeki önemli rolleri nedeniyle zengin araştırma konuları sunmaktadır. Buchsbaum tarafından, belirli bir bağıl kohomolojiye tekabül eden Ext grupları olarak kısa tam modül dizisi sınıfının hesaplanabildiği koşulları aksiyomlaştırmak için öz sınıflar tanımlanmıştır. Öz sınıflar ve onların homolojik nesneleri, bağıl homolojik cebirin temel araçlarıdır. Bağıl homolojik cebir, modül ve halka teorisi, kategori teorisi, topoloji ve cebirsel geometrideki birçok kaynaktan ortaya çıkmıştır. Bununla birlikte, bağıl homoloji Eilenberg ve Moore (1965) tarafından yazılan ve halen bir başyapıt olarak kabul edilen kitabın ortaya çıkmasıyla, tam teşekküllü bir konu haline gelmiştir. Buchsbaum, bağıl homolojik cebiri incelemek için gerekli olan bir dizi monomorfizma üzerine bazı aksiyomlar ortaya koydu. Bu aksiyomlar, monomorfizmalar ve kısa tam dizilerin öz sınıfı kavramının ortaya çıkmasına yol açmıştır. Bir öz sınıfın Ext grupları Baer toplamına göre abel gruplardır. Bu bağıl homolojik cebirin çıkış noktasıdır. Parçalanan kısa tam dizilerin sınıfı Split, en küçük öz sınıftır. En geniş öz sınıf ise, tüm kısa tam dizilerin sınıfı olan Abs öz sınıfıdır . Öz sınıflar, yaygın olarak, funktorlar aracılığıyla üretilirler. Kontravariant Hom(-, M) funktorunu ele aldığımızda injektif üretilmis i-1(M) öz sınıfını elde ederiz. Baska bir deyisle, i-1(M) sınıfı, M’den olan tüm modüllerin injektif olduğu en büyük sınıftır.
Dickson Burulma teorisi basit modüller ile üretilen, ve en çok çalışılan burulma teorisidir. Bu projede öncelikli olarak, basit modüller ile eş-üretilen burulma teorisi incelenecektir. Bu burulma teorisini Dual-Dickson burulma teorisi olarak adlandıracağız. Dual-Dickson teorisinin burulma sınıfı ve burulma–serbest sınıfı belirlenecektir. Daha sonra bu sınıflar ile injektif olarak üretilen öz sınıf ve bu öz sınıfın homolojik nesneleri bağıl homolojik cebir yöntemleri ile incelenecektir. Bu projede, aşağıda belirtilen hedeflere ulaşmayı amaçlıyoruz:
• Dual-Dickson burulma teorisinin incelenmesi.
• Dual-Dickson burulma-serbest sınıfı ile injektif olarak üretilen öz sınıfın incelenmesi.
• Dual-Dickson burulma-serbest sınıfı ile injektif olarak üretilen öz sınıfına göre projektif, eş-projektif, eş-injektif olan modüllerin belirli halakara üzerinde belirlenmesi
Tamamlandı
04.02.2020
25.02.2021
10837
TÜRK LİRASI
Yürütücü
Yükseköğretim Kurumları tarafından destekli bilimsel araştırma projesi