Projektif modüller Modül ve Halka Kuramı ile beraber Homolojik Cebirde önemli bir role sahiptirler. Özellikle sonlu üretilen (temsil edilen) projektif modüller, Morita Kuramı, K-Kuramı, Tilting Kuramı gibi cebir alanlarında doğal olarak ortaya çıkmaktadırlar. Bu projede saf-projektif modüllerin projektifliğini çalışacağız. Serbest modüllerin direkt toplamlarının doğrudan toplam terimine projektif denirken, sonlu temsil edilmiş modüllerin direkt toplamlarının doğrudan toplam terimine saf-projektif denir. Saf-projektif modül, projektif modülün bir genellemesidir. Her projektif modül bir saf-projektiftir.P, bir M sağ modülünün alt modülü olmak üzere, i : P ? M kapsama eşlemesi olsun. Her X sol modülü için, tensör çarpımı üzerine indirgenmiş i ? 1x : P ? X ? M ? X eşlemesi birebir ise, P?ye, M?nin saf alt modülü denir. Her saf kısa tam dizisine göre projektif olan modüllere, saf-projektif modül denir. Modül ve Halka Teorisinin, fp-injektif ve düz modüller gibi önemli modül sınıfları saf-projektif modüller aracılığıyla tanımlanır. Eğer, her P saf-projektif sağ modülü için, Ext(P,E)=0 ise, E sağ modülüne fp-injektif modül denir. Her g :B ? M örtenyapı homomorfizması ve, P saf-projektif olmak üzere, her f :P ?M homomorfizması için, gh =f olacak şekilde h :P?B homomorfizması var ise, M sağ modülüne düz modül denir. Son on yılda, fp-injektif modüller ile ilgili 100 den fazla araştırma makalesi, düz modüller ile ilgili olarak 450 den fazla araştırma makalesi yayınlandı. Her modülün bir düz örtüsünün olduğunun gösterildiği makale, 200 den fazla atıf almıştır. Fp-injektif ve düz modüller ile kıyasla, saf-projektif modüller ile ilgili olarak daha az çalışma yayınlanmıştır. Bunun nedeni, saf-projektif modüllerin çalışılmasının zor olmasıdır. Genellikle, yapılan çalışmalarda, saf-projektif modüller direkt toplam ayrışma (direct sum decomposition) yöntemiyle incelenmişlerdir. Saf-projektif modüllerin sınıflandırılması, temsil edilmiş modüllerin yapısı bilinse bile oldukça zordur. Bu problem ile ilgili olarak, şuana kadar sadece belirli halkalar üzerinde bazı sonuçlar elde edilmiştir. Bu projede, bugüne kadar yapılan çalışmalardan farklı olarak, saf-projektif modülleri alt projektif bölgesi ve düz modüller aracılığıyla inceleyeceğiz. Alt projektif bölgesi, saf projektif modüllerin incelenmesinde daha önce kullanılmamıştır.Verilen M ve N sağ modülleri için, her g :B ? N örtenyapı homomorfizması ve her f :M ?N homomorfizması için, gh =f olacak şekilde h :M?B homomorfizması var ise, M sağ modülüne N-alt projektiftir denir. Bir M modülü için, M?nin N-alt projektif olduğu tüm N modüllerinin sınıfına alt projektif bölgesi denir. Her bir modülün tüm projektif modüllere göre alt-projektif olduğunu görmek kolaydır. Ancak, projektif olmayan saf projektif modüllerin alt projektif bölgesine odaklandığımızda ilginç şeyler ortaya çıkmaktadır. Her bir düz modülün saf projektif modüllerin alt projektif bölgesinde olduğunu kolaylıkla gösterebiliriz. Bu nedenle, alt projektif bölgesi kesin olarak sadece düz modüllerden oluşan saf projektif modüllerin varlığını düşünmek caziptir. Alt projektif bölgeleri ile ilgili olarak yapılmış olan çalışmalar ile aynı çizgide kalmak için, bu tip modülleri pp-yoksul olarak adlandıracağız. Bu tür bir çalışmada akla gelen ilk soru, alt projektif bölgelerine göre en az projektif olan, saf projektif modüllerin potansiyel varlığıdır. Pp-yoksul modüllerin herhangi bir halka üzerinde var olduğunu gösterdik.