Biz bu tez çalışmasında, e^x olarak bildiğimiz üstel fonksiyonu, sadece başlangıç değer problemlerini kullanarak baştan inşa edeceğiz. Bu sayede, üstel fonksiyonun sadece diferansiyel denklemler kullanılarak tanımlanabileceğini göstermiş olacağız. Bunu yapmak için, türevi kendisine eşit olan ve 0 noktasında 1 değerini alan fonksiyon nedir, sorusunu soracağız. Böyle bir fonksiyonun varlığını ve tekliğini garanti etmek için varlık ve teklik teoremini kullanacağız. Bu fonksiyonu diferansiyel denklemler ile inşa ettikten sonra, E(x) ile göstereceğiz ve bazı özelliklerini (toplamı çarpıma; farkı bölüme; çarpımı üsse dönüştürmesi, monotonluk, konvekslik, pozitiflik, tersinirlik, sonsuzluktaki davranışları, grafik incelemesi vs.) inceleyeceğiz. Özellikle, bu fonksiyonun E(1)^x biçiminde yazıldığını göstereceğiz ve E(1) tabanının yaklaşık değerini, E fonksiyonunun türevinin kendisine eşit olması gerçeğinden elde edeceğiz. Bu fonksiyonun tersini, LN ile göstereceğiz ve LN'nin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Son olarak, pozitif bir sayının üssü kavramını baştan ele alacağız.
In this thesis, we reconstruct the exponential function, which we know as e^x, using only initial value problems. In this way, we show that the exponential function can be defined using only differential equations. To do this, we ask the question, "what is the function whose derivative is equal to itself and takes the value 1 at the point 0". We use the existence and uniqueness theorem to guarantee the existence and uniqueness of such a function. After constructing this function with differential equations, we denote it with E and investigate some of its properties (sum to product, difference to quotient, product to exponent, monotony, convexity, positivity, reversibility, behavior at infinity, graph analysis, etc.). In particular, we show that this function is written in the form E(1)^x, and we approximate its base from the fact that the derivative of E is equal to itself. We denote the inverse of this function with LN and investigate some properties of that function. Finally, we redefine the concept of the power of a positive real number.